Sayı ve Kesir Problemleri, yalnızca kendi içinde soru barındıran bir konu değildir; matematiğin temel dilidir. Bu konunun mantığını tam olarak oturtup soru tiplerine hakim olduğunda; Yaş, Yüzde, Kar-Zarar ve Karışım problemleri gibi sınavın geriye kalan tüm problem konularını da çok daha kolay ve hızlı çözebildiğini fark edeceksin.

Bu süreçte unutmaman gereken en önemli kural şudur: Problemler; formül ezberleyerek değil, Türkçeyi matematik diline doğru çevirerek çözülür.

 

1. Türkçeyi Matematiğe Çevir

Sorudaki ifadeleri doğru denkleme dönüştürmek problemin yarısını çözer.

Bir sayının 5 fazlası -> x + 5

Bir sayının 3 katının 2 eksiği -> 3x − 2

Bir sayının 2 eksiğinin 3 katı -> 3 × (x − 2) Dikkat:Parantezi unutmayın.

Bir sayının karesi -> x²

Bir sayının karesinin 4 eksiği -> x² − 4

Bir sayının 4 eksiğinin karesi -> (x − 4)²

Toplamları 20 olan iki sayı -> x ve (20 − x) Not: Tek bilinmeyen kullanın.

Bir sayının 3/5'i -> (3x) / 5

A sayısı, B sayısının 2 katından 3 eksik -> A = 2B − 3

⚠️ Dikkat

"3 katının 2 eksiği" ile "2 eksiğinin 3 katı" aynı değildir.

 

2. Kesir Sorularında EKOK Taktiği

Kesirlerle uzun işlem yapmak yerine paydaların EKOK'unu kullanın yani paydaları eşitleyecek ortak değeri bulun.

Nasıl Yapılır?

• Sorudaki paydalara bakın.

• Paydaların EKOK'unu bulun.

• Başlangıç miktarını EKOK × x olarak alın.

Örnek

Paranın önce 1/3'ü, sonra kalanının 2/5'i harcanıyor.

Paydalar

3 ve 5

EKOK = 15

Başlangıç para = 15x

Bu yöntem hem işlemleri kolaylaştırır hem de hata riskini azaltır.

💡 İpucu

Paydalar aralarında asal ise EKOK, paydaların çarpımına eşittir.

 

3. En Çok Çıkan Soru Tipleri

📌 Kalan Problemleri

Bu sorularda en önemli kelime **"kalan"**dır.

Durum 1

"Parasının 1/4'ünü, sonra kalanının 2/5'ini harcıyor."

➡️ Önce kalan bulunur.

➡️ İkinci kesir kalan miktara uygulanır.

Durum 2

"Parasının 1/4'ünü, sonra tüm parasının 2/5'ini harcıyor."

➡️ İki kesir de başlangıç miktarı üzerinden hesaplanır.

⚠️ Bu iki soru tipi birbirinden farklıdır.

 

📌  Merdiven Problemleri

✅ Temel Kural

Adım Sayısı × Adım Boyu = Basamak Sayısı

Basamak sayısı değişmez.

Bu nedenle;

Çıkış Adım Sayısı × Çıkış Adım Boyu = İniş Adım Sayısı × İniş Adım Boyu

 şeklinde denklem kurulur.

 

📌 Tel Kesme Problemleri

Bir telin bir ucundan parça kesildiğinde orta nokta yer değiştirir.

Kural

Orta Noktanın Kayması = Kesilen Uzunluğun Yarısı

Örneğin;

Orta nokta 6 cm kayıyorsa

Kesilen parça

12 cm'dir.

Çift Taraflı Kesme

İki uçtan da kesim yapılırsa;

Kesilen parçaların farkı alınır.

Bulunan fark ikiye bölünür.

 

Soru

Bir telin bir ucundan 8 cm kesiliyor.

Orta nokta kaç cm kayar?

Çözüm

Orta Nokta = Kesilen Parça ÷ 2

8 ÷ 2 = 4 cm

✅ Cevap: 4 cm

 

Soru

Bir telin bir ucundan uzunluğunun 1/5'i kesiliyor. Telin orta noktası 8 cm yer değiştirdiğine göre telin ilk uzunluğu kaç cm'dir?

Çözüm

Orta nokta 8 cm kaydığına göre kesilen parça:

8 × 2 = 16 cm

Kesilen parça telin 1/5'i olduğuna göre:

Telin tamamı = 16 × 5 = 80 cm

✅ Cevap: 80 cm

 

📌 Kap – Su Problemleri

Bu sorularda iki bilinmeyen vardır.

K = Kabın ağırlığı

S = Suyun ağırlığı

Kabın tamamı 5 eşit parçaya ayrılabiliyorsa;

Tam dolu : K + 5S

2/5 dolu : K + 2S şeklinde denklem kurulur.

Sonra iki denklem birbirinden çıkarılır.

💡 En pratik yöntem budur.

 

Soru

Bir kabın 1/3'ü su ile doluyken ağırlığı 180 gram, tamamı doluyken 300 gram geliyor.

Boş kabın ağırlığı kaç gramdır?

Çözüm

Kabın tamamındaki su miktarına 3x diyelim.

Tam dolu

K + 3x = 300

1/3 dolu

K + x = 180

Bu durumda; 

2x = 120

x = 60

K = 180 − 60 = 120 gram

✅ Cevap: 120 gram

 

📌 Kuyruk (Sıra) Problemleri

Tek kişi soruluyorsa;

Toplam Kişi = Baştan Sıra + Sondan Sıra − 1

Sebebi;

Sorudaki kişi iki defa sayılmış olur.

 

Soru

Ali baştan 8., sondan 12. sıradadır.

Kuyrukta kaç kişi vardır?

Çözüm

Toplam

= 8 + 12 − 1

= 19 kişi

✅ Cevap: 19

 

📌 Tokalaşma ve Hediyeleşme Problemleri

Hediyeleşme

Her kişi diğer herkese hediye veriyorsa;

Toplam Hediye = n × (n − 1)

Tokalaşma

İki kişinin tokalaşması tek olaydır.

Bu yüzden;

Toplam Tokalaşma = n × (n − 1) / 2

A,B,C,D kişilerinin yaptığı tokalaşmalar;

A-B, A-C, A-D, B-C, B-D, C-D

Formüle göre : 4 x 3 / 2 = 6

 

📌 Mum (Tüketim) Problemleri

Bu sorularda farklı sürelerde tükenen iki mum veya benzer cisim karşılaştırılır.

Çözüm Yöntemi

• Mumların yanma sürelerinin EKOK'unu bulun.

• Başlangıç boyunu EKOK × x olarak alın.

• Saatlik yanma miktarını hesaplayıp denklem kurun.

Örnek

A mumu 4 saatte,

B mumu 6 saatte bitiyor.

EKOK(4, 6) = 12

Başlangıç boyu = 12x

A mumu saatte 3x,

B mumu saatte 2x yanar.

Kalan boylara göre denklem kurulur.

💡 İpucu

Süreler farklıysa ilk akla gelecek yöntem EKOK olmalıdır.

 

Soru

Boyları eşit iki mumdan biri 4 saatte, diğeri 6 saatte tamamen yanmaktadır.

Mumlar aynı anda yakılıyor.

Kaç saat sonra uzun mumun boyu, kısa mumun boyunun 2 katı olur?

Çözüm

EKOK(4,6)=12

Başlangıç boyu = 12x

A mumu saatte 3x yanar.

B mumu saatte 2x yanar.

t saat sonra;

A = 12x − 3xt

B = 12x − 2xt

Koşul: B = 2A

12 − 2t = 2(12 − 3t)

12 − 2t = 24 − 6t

4t = 12

t = 3 saat

✅ Cevap: 3

 

📌 Eksilen Parça (Maliyet) Problemleri

Bu soru tipi;

• Kırılan yumurta

• Bozulan ürün

• Çekme yapan kumaş

• Eksilen mal

gibi durumlarda karşınıza çıkar.

Temel Mantık

Toplam ödenen para değişmez.

Miktar azalırsa birim maliyet artar.

Kural

Toplam Maliyet = Miktar × Birim Fiyat

Örnek

10 yumurta tanesi 5 TL'den alınmıştır.

Toplam ödeme = 50 TL

2 yumurta kırılırsa,

kalan 8 yumurtanın tanesi

50 ÷ 8 = 6,25 TL

olur.

⚠️ Soruda para değişmez, sadece ürün miktarı değişir.

 

📌 Yanlış Doğruyu Götürüyor Problemleri

Kural

Net = Doğru − (Yanlış ÷ Götürme Sayısı)

Genellikle;

4 yanlış = 1 doğru

Model

Toplam soru = S

Yanlış = x

Boş = b

Doğru = S − (x + b)

Önce doğru sayısını bulun, sonra net hesabını yapın.

Dört yanlışı bir doğruyu götürüyorsa;

Net = Doğru - x/4

 

Soru

40 doğru,

12 yanlış yapan bir adayın,

4 yanlış 1 doğruyu götürüyorsa neti kaçtır?

Çözüm

Net = 40 − (12 ÷ 4)

= 40 − 3

= 37 net

✅ Cevap: 37

 

Soru

80 soruluk bir sınavda bir adayın 12 yanlışı ve 8 boşu vardır.

4 yanlış 1 doğruyu götürdüğüne göre neti kaçtır?

Çözüm

Doğru

80 − (12 + 8)

= 60

Net

60 − (12 ÷ 4)

= 60 − 3

= 57 net

✅ Cevap: 57

 

📌 Hatalı Ölçü (Bozuk Cetvel) Problemleri

Bu sorularda ölçü aleti doğru ölçmez.

Temel Mantık

Gerçek uzunluk değişmez.

Yanlış olan yalnızca ölçü sonucudur.

Kural

Gerçek Uzunluk × Bozuk Cetvel = Ölçülen Uzunluk × Gerçek Cetvel

💡 Önce cetvelin ne kadar eksik veya fazla ölçtüğünü bulun.

 

Soru

Gerçekte 90 cm olan bir cetvelin üzerinde 100 cm yazmaktadır.

Bu cetvelle ölçülen bir masa 150 cm göründüğüne göre gerçek uzunluğu kaç cm'dir?

Çözüm

Gerçek Uzunluk × Bozuk Cetvel= Ölçülen Uzunluk × Gerçek Cetvel

Gerçek uzunluk = a olsun;

a × 100 = 150 x 90;

a = 135 cm

✅ Cevap: 135 cm

 

📌 Paylaşım Problemleri

Ortak hesap ödeme, ceviz paylaşma, hediye alma gibi sorular bu gruba girer.

Temel Mantık

Toplam miktar değişmez.

Kişi sayısı değişirse kişi başına düşen miktar da değişir.

Kural

Toplam = Kişi Sayısı × Kişi Başı Pay

Örnek

n kişi x TL ödüyorsa;

Toplam = n × x

2 kişi ayrılırsa;

Toplam = (n − 2) × (x + k)

şeklinde denklem kurulur.

 

Soru

600 TL'lik hesap

6 kişi arasında eşit paylaşılacaktır.

2 kişi ödeme yapmazsa,

kalan kişiler kaç TL öder?

Çözüm

İlk durumda

600 ÷ 6 = 100 TL

Son durumda

600 ÷ 4 = 150 TL

Her kişi

50 TL daha fazla öder.

 

Soru

Bir gezi masrafı 15 kişi arasında eşit paylaşılacaktır.

Son anda 3 kişi geziye katılmayınca kalan herkes 40 TL daha fazla ödemiştir.

Gezi masrafı kaç TL'dir?

Çözüm

İlk kişi başı ödeme = x

Toplam

15x

Son durum

12(x + 40)

15x = 12(x + 40)

15x = 12x + 480

x = 160

Toplam

15 × 160

= 2400 TL

✅ Cevap: 2400 TL

 

📌 İleri – Geri Adım Problemleri

Temel Mantık

Bir döngüde;

Net ilerleme hesaplanır.

Örnek

7 adım ileri

3 adım geri

Bir döngüde

Toplam hareket = 10 adım

Net ilerleme = 4 adım

Önce kaç tam döngü olduğu bulunur.

Sonra kalan adımlar eklenir.

 

Soru

Bir kişi her seferinde 8 metre ilerliyor, ardından 3 metre geri kayıyor.

Toplam 53 metre uzaklıktaki noktaya ilk kez ulaştığında kaçıncı ileri hareketini yapmıştır?

Çözüm

Bir döngüde;

İleri = 8 m

Geri = 3 m

Net ilerleme = 5 m

9 tam döngü sonunda

9 × 5 = 45 m

ileri hareketinde

45 + 8 = 53 m

Hedefe ulaşır.

✅ Cevap: 10. ileri hareket

 

📌 Kumaş ve Parça Problemleri

Bir kumaş farklı sayıda parçaya bölünüyorsa;

Temel Mantık

Parça sayısı arttıkça,

her parçanın uzunluğu azalır.

Kural

Toplam Uzunluk = Parça Sayısı × Parça Uzunluğu

Soruların çoğu bu ilişki kullanılarak çözülür.

 

Soru

Bir terzi, elindeki kumaşın tamamından aynı uzunlukta pantolon dikmektedir.

Her pantolon için 3 metre kumaş kullanırsa 2 metre kumaş artıyor.

Her pantolon için 3,5 metre kumaş kullanırsa 1 pantolon eksik dikilebiliyor.

Buna göre kumaşın uzunluğu kaç metredir?

Çözüm

İlk durumda dikilen pantolon sayısına x diyelim.

Toplam kumaş:

3x + 2

İkinci durumda aynı kumaşla x − 1 pantolon dikilir.

3,5(x − 1)

denklem kurulur:

3x + 2 = 3,5(x − 1)

3x + 2 = 3,5x − 3,5

5,5 = 0,5x

x = 11

Toplam kumaş:

3 × 11 + 2 = 35 metre

✅ Cevap: 35 metre